Question

【題目】如圖，四邊形與均為菱形，，且．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由線面垂直的判定定理得到結(jié)論；（2）通過證明線線平行,得到線面平行；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量,易知面,所以面的法向量為,再求出它們的夾角的余弦值.

試題解析：（1）證明：設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，所以，且為中點(diǎn)，又，所以，

因?yàn)?/span>，所以平面．

（2）證明：因?yàn)樗倪呅?/span>與均為菱形，

所以，，所以平面平面，

又平面，所以平面．

（3）解：因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，且，所以△為等邊三角形，

因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以，故平面．

由，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，，則，所以，，

所以，，，，．

所以，．

設(shè)平面的法向量，則有所以

取，得．

易知平面的法向量為．

由二面角是銳角，得，

所以二面角的余弦值為．