Question

【題目】如圖，四邊形與均為菱形，，且．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由線面垂直的判定定理得到結論；（2）通過證明線線平行,得到線面平行；（3）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量,易知面,所以面的法向量為,再求出它們的夾角的余弦值.

試題解析：（1）證明：設與相交于點，連接，因為四邊形為菱形，所以，且為中點，又，所以，

因為，所以平面．

（2）證明：因為四邊形與均為菱形，

所以，，所以平面平面，

又平面，所以平面．

（3）解：因為四邊形為菱形，且，所以△為等邊三角形，

因為為中點，所以，故平面．

由，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系．

設，因為四邊形為菱形，，則，所以，，

所以，，，，．

所以，．

設平面的法向量，則有所以

取，得．

易知平面的法向量為．

由二面角是銳角，得，

所以二面角的余弦值為．