Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓交于兩點，延長交橢圓于點，的周長為8.

（1）求的離心率及方程；

（2）試問：是否存在定點，使得為定值？若存在，求；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）,； （2）存在點，且.

【解析】

（1）由已知條件得，，即可計算出離心率和橢圓方程

（2）假設存在點，分別求出直線的斜率不存在、直線的斜率存在的表達式，令其相等，求出結果

（1）由題意可知，，則，

又的周長為8，所以，即，

則，.

故的方程為.

（2）假設存在點，使得為定值.

若直線的斜率不存在，直線的方程為，，，

則.

若直線的斜率存在，設的方程為，

設點，，聯立，得，

根據韋達定理可得：，，

由于，，

則

因為為定值，所以，

解得，故存在點，且.