Question

【題目】如圖，在空間幾何體ABCDFE中，底面是邊長為2的正方形，，，.

（1）求證：AC//平面DEF；

（2）已知，若在平面上存在點，使得平面，試確定點的位置.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)是線段上靠近的三等分點.

【解析】試題分析：

（1）連BD交AC于O，取DE中點K，連結(jié)OK、KF，由題意結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可得四邊形AOKF為平行四邊形，則，由線面平行的判斷定理可得AC//平面DEF

（2）由題意，以為原點，、、分別為、、軸建立空間直角坐標系.由題意可得，，設(shè)，計算可得，由可得方程組，求解方程組有即.是線段上靠近的三等分點.

試題解析：

（1）連BD交AC于O，取DE中點K，連結(jié)OK、KF

∵AC、BD是正方形的對角線

∴O為BD中點，∴，∴四邊形AOKF為平行四邊形，∴

又∵平面DEF，平面DEF

∴AC//平面DEF

（2）在△DAF中，，，，所以

又因為，，平面ABCD

∴平面.

以為原點，、、分別為、、軸建立空間直角坐標系（如圖）.

則，，，，，

設(shè)，因為，，

又，

所以，

∵∴

解得即.所以是線段上靠近的三等分點.