Question

已知橢圓C：

x2

20

+

y2

15

=1，
（1）若P（x，y）是C上一點，求x+5y的最小值；
（2）證明橢圓C的面積S=10

3

π．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用橢圓的參數方程、兩角和差的正弦公式及其單調性即可得出；
（2）利用橢圓C的面積S=πab即可證明．

解答： （1）解：設x=2

5

cosθ，y=

15

sinθ（θ∈[0，2π）），
則x+5y=2

5

cosθ+5

15

sinθ=

395

sin（θ+φ）≥-

395

，其中φ=arctan

2 3

15

，
∴當sin（θ+φ）=-1時，x+5y取得最小值-

395

．
（2）證明：橢圓C的面積S=πab=π×

20

×

15

=10

3

π．

點評：本題考查了橢圓的參數方程、兩角和差的正弦公式及其單調性、橢圓C的面積S=πab，屬于中檔題．