Question

【題目】如圖所示，平面平面，四邊形是邊長為4的正方形，，，分別是，的中點.

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成角等于，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）利用平行四邊形判定法則，證明CN平行ME，然后結合直線與平面平行判定，即可。（2）建立直角坐標系，分別計算兩平面的法向量，然后結合向量數量積，即可。

（1）取線段中點，連結，，因為，分別是、的中點，所以

且，

正方形中，是的中點.所以且，

所以且，

故四邊形為平行四邊形，

從而，

又因為平面，平面，所以平面.

（2）過作于，

因為平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

又平面，從而為直線在平面內的射影，

故為直線與平面所成角，所以.

如圖，以為坐標原點，分別以過點且平行于的直線、，所在的直線

為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，

則，，，，

，，.

設，分別為平面和的法向量，

則，即，

令得，

，即，令得，

，

所以二面角的余弦值為.