Question

【題目】已知橢圓：過點，且一個焦點坐標為．

（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；

（Ⅱ）過點且與x軸不垂直的直線與橢圓C交于兩點，若在線段上存在點，使得以MP, MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，求m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由題意可得，，根據，即可求出，再橢圓方程可求，即可求出離心率；（Ⅱ）把直線方程與橢圓的方程聯立求出與、兩點的坐標有關的等量關系，進而求出的中點坐標，再利用菱形的對角線互相垂直即可求出的取值范圍．

（Ⅰ）由橢圓過點，一個焦點坐標為，可知

所以

所以橢圓的方程為.

離心率

（Ⅱ）設， ，

代入橢圓，得：

，所以，

所以中點的坐標為

因為以為鄰邊的平行四邊形是菱形，所以

所以，即

因為，所以.

又點在線段上，所以.

綜上，