Question

【題目】已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ）的圖象如圖所示，直線x= ，x= 是其兩條對稱軸．
（1）求函數f（x）的解析式及單調區間；
（2）若f（α）= ，且 ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意， = ﹣ = ，∴T=π；

又∵ω＞0，∴ω=2，

∴f（x）=2sin（2x+φ）；

∵f（ ）=2sin（ +φ）=2，

∴解得φ=2kπ﹣ （k∈Z）；

又∵﹣ ＜φ＜ ，∴φ=﹣ ，

∴f（x）=2sin（2x﹣ ）；

∵2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ （k∈Z），

∴kπ﹣ ≤x≤kπ+ （k∈Z），

∴函數f（x）的單調增區間為[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）

（2）解：解法1：依題意得，2sin（2α﹣ ）= ，即sin（2α﹣ ）= ，

∵ ＜α＜ ，∴0＜2α﹣ ＜ ；

∴cos（2α﹣ ）= = ，

f（ +α）=2sin[（2α﹣ ）+ ]；

∵sin[（2α﹣ ）+ ]=sin（2α﹣ ）cos +cos（2α﹣ ）sin

= （ + ）= ，

∴f（ +α）= ．

解法2：依題意得，sin（2α﹣ ）= ，得sin2α﹣cos2α= ，①

∵ ＜α＜ ，∴0＜2α﹣ ＜ ，

∴cos（α﹣ ）= = ，

由cos（2α﹣ ）= 得，sin2α+cos2α= ；②

① +②得，2sin2α= ，

∴f（ +α）= ．（

解法3：由sin（2α﹣ ）= 得，sin2α﹣cos2α= ，

兩邊平方得，1﹣sin4α ，∴sin4α= ，

∵ ＜α＜ ，∴ ＜4α＜ ，∴cos4α=﹣ =﹣ ，

∴sin22α= = ；

又∵ ＜2α＜ ，∴sin2α= ，

∴f（ +α）= ．

【解析】（1）根據函數的圖象求出T、ω和φ的值，即得f（x），再求出f（x）的單調增區間；（2）解法1：由sin（2α﹣ ）求出cos（2α﹣ ）的值，利用兩角和的公式計算f（ +α）的值；解法2：由sin（2α﹣ ）得sin2α﹣cos2α的值，cos（α﹣ ）得cos（2α﹣ ）即sin2α+cos2α的值，計算出f（ +α）的值；解法3：由sin（2α﹣ ）得sin2α﹣cos2α的值，再得sin4α的值，再求出sin2α的值，從而求出f（ +α）的值．
【考點精析】關于本題考查的函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，需要了解圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象才能得出正確答案．