Question

【題目】已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=a（Sn﹣an+1）（a為常數，且a＞0），且a3是6a1與a2的等差中項．
（1）求{an}的通項公式；
（2）設bn=anlog2an ， 求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據Sn=a（Sn﹣an+1），分別令n=1，2，3，可求得：

；

∴6a+a2=a3；

∵a＞0；

∴6+a=a2，解得a=3；

∴Sn=3（Sn﹣an+1）①；

∴n＞1時，Sn﹣1=3（Sn﹣1﹣an﹣1+1）②；

∴①﹣②得：an=3an﹣1；

∴ ；

∴{an}是首項為3，公比為3的等比數列；

∴

（2）解： ；

∴Tn=b1+b2+…+bn=log23（131+232+…+n3n） ①；

∴3Tn= ②；

∴①﹣②得： = = ；

∴ ．

【解析】（1）根據已知條件即可求出a=3，所以根據n＞1時，an=Sn﹣Sn﹣1可得到an=3an﹣1 ， 所以數列{an}是首項為3，公比為3的等比數列，所以根據等比數列的通項公式可寫出an；（2） ，所以 ①，而要求131+232+…+n3n容易想到用錯位相減法： ②，①﹣②即可求得Tn ．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．