Question

已知函數
（I）求函數的單調區間；   （II）若關于的不等式對一切都成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（I）的單調增區間為和；單調減區間為和．
（II）當時，；當時，.

求函數的單調區間時，一定注意函數的定義域，尤其對于對數函數；
對于恒成立求參數問題，通常分離參數，然后只要求在最值處成立即可，關于的不等式對一切都成立，然后分析函數的最值時利用導數求出單調區間。
解：（I），當時，；當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減.又函數為奇函數，所以在上單調遞增，在上單調遞減.
∴的單調增區間為和；單調減區間為和．
（II）不等式對一切都成立，即對一切都成立
由（I）知在上單調遞增，在上單調遞減，所以，
當，即時，在 上單調遞增，；
當，即時，在 上單調遞減，；
當，即時，在 上單調遞增，在 上單調遞減，
 .下面比較的大小：
，∴當時，，當時，
綜上得：當時，；當時，．
故當時，；當時，.