Question

(本小題滿分13分)
隨著國家政策對節能環保型小排量車的調整，兩款1.1升排量的Q型車、R型車的銷量引起市場的關注.已知2010年1月Q型車的銷量為a輛，通過分析預測，若以2010年1月為第1月，其后兩年內Q型車每月的銷量都將以1%的比率增長，而R型車前n個月的銷售總量T_n大致滿足關系式：T_n＝228a(1.01²ⁿ－1)(n≤24，n∈N^*).
(1)求Q型車前n個月的銷售總量S_n的表達式；
(2)比較兩款車前n個月的銷售總量S_n與T_n的大小關系；
(3)試問從第幾個月開始Q型車的月銷售量小于R型車月銷售量的20%，并說明理由.
(參考數據：≈1.09，≈8.66)

Answer 1

解：(1)Q型車每月的銷售量{a_n}是以首項a₁＝a，
公比q＝1＋1%＝1.01的等比數列.(2分)
前n個月的銷售總量S_n＝＝100a(1.01ⁿ－1)(n∈N^*，且n≤24).
(2)∵S_n－T_n＝100a(1.01ⁿ－1)－228a(1.01²ⁿ－1)＝100a(1.01ⁿ－1)－228a(1.01ⁿ－1)(1.01ⁿ＋1)＝－228a(1.01ⁿ－1)·(1.01ⁿ＋).
又1.01ⁿ－1>0,1.01ⁿ＋>0，∴S_n<T_n.(8分)
(3)記Q、R兩款車第n個月的銷量分別為a_n和b_n，
則a_n＝a×1.01^n－1.
當n≥2時，b_n＝T_n－T_n－1＝228a(1.01²ⁿ－1)－228a(1.01^2n－2－1)＝228a×(1.01²－1)×1.01^2n－2＝4.5828a1.01^2n－2.(10分)
b₁＝4.5828a(或228×0.0201a)，顯然20%×b₁<a₁.
當n≥2時，若a_n<20%×b_n，
即a×1.01^n－1<×4.5828a×1.01^2n－2，
1.01^2(n－1)>×1.01^n－1,1.01^n－1>≈1.09，n－1>≈8.66.
∴n≥10，即從第10個月開始，Q型車月銷售量小于R型車月銷售量的20%.(13分)

解析