Question

【題目】設橢圓的離心率,左頂點到直線的距離,為坐標原點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線與橢圓相交于兩點,若以為直徑的圓經過坐標原點,證明:點到直線的距離為定值；

（III）在（Ⅱ）的條件下,試求的面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值為；（3）

【解析】

試題（1）根據題目條件建立a，b，c的兩個方程，可求得橢圓的標準方程；（2）以AB為直徑的圓經過坐標原點，等價于OA⊥OB，再轉換為x1x2＋y1y2＝0，結合A、B是直線與橢圓的公共點，可得原點到直線的距離為定值；（3）結合（2），將三角形的面積表示為直線斜率的函數關系式，利用二次函數的性質可求的面積的最小值.

試題解析：（1）由e＝，得c＝a，又b2＝a2－c2，所以b＝a，即a＝2b.

由左頂點M（－a，0）到直線，即bx＋ay－ab＝0的距離d＝，

得，即，

把a＝2b代入上式，得，解得b＝1.所以a＝2b＝2，c＝.

所以橢圓C的方程為. 3分

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），

①當直線AB的斜率不存在時，則由橢圓的對稱性，可知x1＝x2，y1＝－y2.

因為以AB為直徑的圓經過坐標原點，故＝0，

即x1x2＋y1y2＝0，也就是，

又點A在橢圓C上，所以，

解得|x1|＝|y1|＝.

此時點O到直線AB的距離d1＝|x1|＝.

②當直線AB的斜率存在時，

設直線AB的方程為y＝kx＋m，

與橢圓方程聯立有

消去y，得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0

所以

因為以AB為直徑的圓經過坐標原點O，所以OA⊥OB

于是＝x1x2＋y1y2＝0，

所以（1＋k2）x1x2＋km（x1＋x2）＋m2＝0

所以

整理得：5m2＝4（k2＋1）

所以點O到直線AB的距離d1＝.

綜上所述，點O到直線AB的距離為定值. 8分

（3）設直線OA的斜率為k0.

當k0≠0時，

則OA的方程為y＝k0x，OB的方程為，

聯立得同理可求得

故△AOB的面積為S＝＝2.

令1＋＝t（t>1），

則S＝2＝2，

令g（t）＝（t>1），所以4<g（t）≤.所以≤S<1.

當k0＝0時，可求得S＝1，

故≤S≤1，故S的最小值為. 13分