Question

已知a，b實數，設函數f（x）=2x²+（1+a）bx-b．
（1）若關于x的不等式f（x）＜0的解集為（1，3），求實數a，b的值；
（2）設b為已知的常數，且f（1）＞0，求滿足條件的a的范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可知2x²+（a+1）bx-b＜0的解集為（1，3），得1，3是方程2x²+（a+1）bx-b=0的兩根，根據根與系數的關系即可求得a，b的值．
（2）由f（1）＞0，可得2+ab＞0，對b討論即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）由題可知2x²+（a+1）bx-b＜0的解集為（1，3），
則1，3是方程2x²+（a+1）bx-b=0的兩根，由韋達定理可知

- b(a+1) 2 =4 - b 2 =3

化為

ab+b+8=0 b=-6

解得

a= 1 3 b=-6

（2）∵f（1）=2+（1+a）b-b=2+ab＞0，∴ab＞-2．
當b=0時，a∈R；當b＞0時，a＞-

2

b

；當b＜0時，a＜-

2

b

．

點評：掌握一元二次不等式的解集與相應的一元二次方程的根的關系是正確求得一元二次不等式的解集的關鍵．