Question

【題目】已知函數 .

（1）若在上為減函數，求的取值范圍；

（2）若關于的方程在內有唯一解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） ；（2） 或

【解析】

（1）根據復合函數的單調性和對數函數的定義域及二次函數的單調性即可求出a的取值范圍，

（2）根據對數的運算性質，關于x的方程f（x）＝﹣1+log（x+3）在上僅有一解，轉化為上僅有一個交點，即可求出a的取值范圍．

（1）令t＝x2﹣2（2a﹣1）x+8＞0，

∵y＝logt在[a，+∞）上為減函數，

則t＝x2﹣2（2a﹣1）x+8在[a，+∞）上為增函數，

∵其對稱軸為x＝2a﹣1，

∴t在[2a﹣1，+∞）為增函數，

則a≥2a﹣1，且t（a）＞0，即a2﹣2（2a﹣1）a+8＞0，

解得a≤1或﹣＜a＜2，

故a的取值范圍為（﹣，1]；

（2）∵方程f（x）＝﹣1+ log（x+3）＝log（2x+6），

∴x2﹣2（2a﹣1）x+8＝2x+6，∴x2﹣4ax+2＝0，

即上僅有一個交點.

令g（x）=，則g（x）在（1，）上遞減，在（，3）上遞增.

所以g（）=，g（1）=3，g（3）=

可得或

故a的取值范圍為 或