Question

【題目】設函數，.

（1）若，求函數的單調區間；

（2）若，且函數在區間內有兩個極值點，求實數a的取值范圍；

（3）求證：對任意的正數a，都存在實數t，滿足：對任意的，.

Answer 1

【答案】（1）遞減區間為，遞增區間為；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）求解，利用，，解不等式求解單調遞增區間，單調遞減區間；

（2），其中，再次構造函數令，分析的零點情況，，令，，列表分析得出單調性，判斷，分類討論求解①若，②若，③若，的單調性，最大值，最小值，確定有無零點轉化為極值即可；

（3）存在：，恒成立，再運用導數判斷證明，令，，，求解最大值，得出即可.

（1）當時，，，

令，，列表分析

x		1
		0
	單調遞減	極小值	單調遞增

故的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

（2），，其中，

令，分析的零點情況.

，令，，列表分析

x
		0
	單調遞減	極小值	單調遞增

，

而，，

，

①若，則，

故在內沒有極值點，舍；

②若，則，，

，

因此在有兩個零點，設為，，

所以當時，單調遞增，當時，單調遞減，

當時，單調遞增，此時在內有兩個極值點；

③若，則，，

，因此在有一個零點，

在內有一個極值點；

綜上所述，實數a的取值范圍為.

（3）存在：，恒成立.

證明如下：

由（2）得在上單調遞增，

且，.

因為當時，（*），所以.

故在上存在唯一的零點，設為.

由

x
		0
	單調遞減	極小值	單調遞增

知，.

又，而時，（**），

所以.

即，.

所以對任意的正數a，都存在實數，使對任意的，使.

補充證明（*）：

令，.，所以在上單調遞增.

所以時，，即.

補充證明（**）

令，，，所以在上單調遞減.

所以時，，即.