Question

已知函數y=-2x²+8x-9,其圖象按a平移后，得到的拋物線的頂點在y軸上，且在x軸上截得的弦長為4，求平移后的函數解析式及向量a的坐標.

Answer 1

解法一:設平移后的函數解析式為y=-2x²+b,

由題意可知其過點（2，0）,

∴-2×4+b=0.

∴b=8.∴平移后的函數解析式為y=-2x²+8.

設P（x,y)為平移前函數圖象上的任意一點，其平移后的對應點為P′(x′,y′),

則有y′-8=-2x′²,∴

即∴∴a=(-2,9).

解法二:設a=（h,k),則即

代入y=-2x²+8x-9,有y′-k=-2(x′-h)²+8(x′-h)-9,

即y′=-2x′²+(4h+8)x′-2h²+k-9-8h.

∵平移后的拋物線頂點在y軸上，

∴對稱軸方程為x=×(-2)=0.

∴4h+8=0.∴h=-2.

∴有y′=-2x′²+k-1過點（2，0）.

∴有-8+k-1=0.∴k=9.

∴a=(-2,9),y′=-2x′²+8,

即平移后的函數解析式為y=-2x²+8.