Question

【題目】已知橢圓的左，右兩個焦點為、，拋物線與橢圓有公共焦點.且兩曲線、在第一象限的交點的橫坐標為.

（1）求橢圓和拋物線的方程；

（2）直線與拋物線的交點為、（為坐標原點），與橢圓的交點為、（在線段上），且.問滿足條件的直線有幾條，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；；（2）滿足條件的直線有條，理由見解析.

【解析】

（1）由橢圓和拋物線的公共焦點可求得拋物線的標準方程，再由點在拋物線上可求得點的坐標，利用橢圓的定義可求得的值，進而求得的值，由此可得出橢圓的標準方程；

（2）將直線的方程分別與橢圓、拋物線的方程聯立，分別求得點、、、的橫坐標，由可知點為線段的中點，利用中點坐標公式可得出關于的等式，

（1）由于橢圓和拋物線的公共焦點為，故橢圓的焦點坐標為.

所以，所以拋物線的方程，

由點在拋物線上，所以，

又點又在橢圓上，所以，

所以，又，故，

從而橢圓的方程為；

（2）聯立直線與橢圓方程得，得，

解得，.

聯立直線與拋物線得，得，解得，，

由，故為線段的中點，

即，得，

化簡得，解得（負值含去），

故滿足題意的值有個，從而存在過原點的有兩條直線滿足題意.