Question

【題目】已知是無窮數列．給出兩個性質：

①對于中任意兩項，在中都存在一項，使；

②對于中任意項，在中都存在兩項．使得．

(Ⅰ)若，判斷數列是否滿足性質①，說明理由；

(Ⅱ)若，判斷數列是否同時滿足性質①和性質②，說明理由；

(Ⅲ)若是遞增數列，且同時滿足性質①和性質②，證明：為等比數列.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)詳解解析；(Ⅲ)證明詳見解析.

【解析】

(Ⅰ)根據定義驗證，即可判斷；

(Ⅱ)根據定義逐一驗證，即可判斷；

(Ⅲ)解法一：首先，證明數列中的項數同號，然后證明，最后，用數學歸納法證明數列為等比數列即可.

解法二：首先假設數列中的項數均為正數，然后證得成等比數列，之后證得成等比數列，同理即可證得數列為等比數列，從而命題得證.

(Ⅰ)不具有性質①；

(Ⅱ)具有性質①；

具有性質②；

(Ⅲ)解法一

首先，證明數列中的項數同號，不妨設恒為正數：

顯然，假設數列中存在負項，設，

第一種情況：若，即，

由①可知：存在，滿足，存在，滿足，

由可知，從而，與數列的單調性矛盾，假設不成立.

第二種情況：若，由①知存在實數，滿足，由的定義可知：，

另一方面，，由數列的單調性可知：，

這與的定義矛盾，假設不成立.

同理可證得數列中的項數恒為負數.

綜上可得，數列中的項數同號.

其次，證明：

利用性質②：取，此時，

由數列的單調性可知，

而，故，

此時必有，即，

最后，用數學歸納法證明數列為等比數列：

假設數列的前項成等比數列，不妨設，

其中，（的情況類似）

由①可得：存在整數，滿足，且 （*）

由②得：存在，滿足：，由數列的單調性可知：，

由可得： （**）

由（**）和（*）式可得：，

結合數列的單調性有：，

注意到均為整數，故，

代入（**）式，從而.

總上可得，數列的通項公式為：.

即數列為等比數列.

解法二：

假設數列中的項數均為正數：

首先利用性質②：取，此時，

由數列的單調性可知，

而，故，

此時必有，即，

即成等比數列，不妨設，

然后利用性質①：取，則，

即數列中必然存在一項的值為，下面我們來證明，

否則，由數列的單調性可知，

在性質②中，取，則，從而，

與前面類似的可知則存在，滿足，

若，則：，與假設矛盾；

若，則：，與假設矛盾；

若，則：，與數列的單調性矛盾；

即不存在滿足題意的正整數，可見不成立，從而，

然后利用性質①：取，則數列中存在一項，

下面我們用反證法來證明，

否則，由數列的單調性可知，

在性質②中，取，則，從而，

與前面類似的可知則存在，滿足，

即由②可知：，

若，則，與假設矛盾；

若，則，與假設矛盾；

若，由于為正整數，故，則，與矛盾；

綜上可知，假設不成立，則.

同理可得：，從而數列為等比數列，

同理，當數列中的項數均為負數時亦可證得數列為等比數列.

由推理過程易知數列中的項要么恒正要么恒負，不會同時出現正數和負數.

從而題中的結論得證，數列為等比數列.