Question

）設點C為曲線y＝(x>0)上任一點，以點C為圓心的圓與x軸交于點E、A，與y軸交于點E、B.
(1)證明：多邊形EACB的面積是定值，并求這個定值；
(2)設直線y＝－2x＋4與圓C交于點M，N，若|EM|＝|EN|，求圓C的方程．

Answer 1

（1）見解析；（2）(x－2)²＋(y－1)²＝5.

(1)可直接確定點E為原點，所以設圓心C，然后根據半徑長度為|OC|，即可寫出圓的標準方程 ,然后再求四邊形的面積看是否是定值即可。
（2）根據圓的幾何性質可知CE所在直線與直線y=-2x+4垂直，所以根據斜率積為-1，即可求出t的值，進而確定圓的方程。
解：(1)證明：設點C (t>0)，因為以點C為圓心的圓與x軸交于點E、A，與y軸交于點E、B.
所以，點E是直角坐標系原點，即E(0,0)．
于是圓C的方程是(x－t)²＋²＝t²＋.
則A(2t,0)，B.
由|CE|＝|CA|＝|CB|知，圓心C在Rt△AEB的斜邊AB上，于是多邊形EACB為Rt△AEB，
其面積S＝|EA|·|EB|＝×2t×＝4.
所以多邊形EACB的面積是定值，這個定值是4.
(2)若|EM|＝|EN|，則E在MN的垂直平分線上，即EC是MN的垂直平分線．
因為k_EC＝＝，k_MN＝－2.
所以由k_EC·k_MN＝－1得t＝2.
所以圓C的方程是(x－2)²＋(y－1)²＝5.