Question

（2009•淄博一模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，PA=PB，PC=PD
（1）證明平面PAB⊥平面ABCD；
（2）如果AD=1，BC=3，CD=4，且側面PCD的面積為8，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）取AB、CD 的中點E、F．連結PE、EF、PF，由等腰三角形三線合一可得PE⊥AB，PF⊥CD，結合三角形中位線定理及線面垂直及面面垂直的判定定理可得平面PAB⊥平面ABCD；
（2）由側面PCD的面積為8，求出棱錐的高及底面積，代入棱錐的體積公式，可得答案．

解答：證明：（1）取AB、CD 的中點E、F．連結PE、EF、PF，
由PA=PB、PC=PD
得PE⊥AB，PF⊥CD
∴EF為直角梯形的中位線，∠BCD=90°，
∴EF⊥CD
又PF∩EF=F
∴CD⊥平面PEF
又∵PF?平面PEF，得CD⊥PE
又PE⊥AB且梯形兩腰AB、CD必相交
∴PE⊥平面ABCD
又由PE?平面PAB
∴平面PAB⊥平面ABCD
解：（2）∵側面PCD的面積S=

1

2

•CD•PF=8且CD=4，
∴PF=4
又∵AD=1，BC=3，EF為直角梯形的中位線，
∴EF=

1

2

（AD+BC）=2
又由PE⊥平面ABCD，故PE=2

3

∴四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

•S_ABCD•PE=

16 3

3

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，（1）的關鍵是熟練掌握線線垂直，線面垂直及面面垂直的判定及轉化，（2）的關鍵是求出棱錐的高．