Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=-

2

3

，滿足S_n+

1

Sn

+2=a_n（n≥2）．
（1）證明：數列{

1

Sn+1

}為等差數列，并求出S_n；
（2）令b_n=log₂（-S_n），求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差關系的確定,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由滿足S_n+

1

Sn

+2=a_n（n≥2），可得滿足S_n+

1

Sn

+2=a_n=S_n-S_n-1，變形為

1

1+Sn

-

1

1+Sn-1

=1，即可證明；
（2）由于b_n=log₂（-S_n）=log2

n+1

n+2

，利用對數的運算性質即可得出．

解答： （1）證明：∵滿足S_n+

1

Sn

+2=a_n（n≥2），
∴滿足S_n+

1

Sn

+2=a_n=S_n-S_n-1，
化為

1

1+Sn

-

1

1+Sn-1

=1，

1

1+S1

=

1

1- 2 3

=3．
∴數列{

1

Sn+1

}為等差數列，
∴

1

1+Sn

=3+（n-1）×1=n+2．
∴S_n=-

n+1

n+2

．
（2）b_n=log₂（-S_n）=log2

n+1

n+2

，
∴數列{b_n}的前n項和T_n=log2(

2

3

×

3

4

×…×

n+1

n+2

)=log2

2

n+2

．

點評：本題考查了等差數列的定義及其通項公式、對數的運算性質，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．