Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)于任意的n∈N_＋，a_n，S_n，a成等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且b_n＝，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈(1，e](e是自然對(duì)數(shù)的底)和任意正整數(shù)n，總有T_n<r(r∈N_＋)．則r的最小值為_(kāi)_______．

Answer 1

2

根據(jù)題意，對(duì)于任意n∈N_＋，總有a_n，S_n，a成等差數(shù)列，則對(duì)于n∈N^*，總有2S_n＝a_n＋①
所以2S_n－1＝a_n－1＋ (n≥2)②
①－②得2a_n＝a_n＋－a_n－1－，即a_n＋a_n－1＝(a_n＋a_n－1)(a_n－a_n－1)因?yàn)?i>a_n，a_n－1均為正數(shù)，所以a_n－a_n－1＝1(n≥2)，
所以數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，又n＝1時(shí)，2S₁＝a₁＋a，解得a₁＝1，所以a_n＝n，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x∈(1，e]，有0<ln x<1，對(duì)于任意正整數(shù)n.總有b_n＝≤，所以T_n≤＝，又對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈(1，e]和任意正整數(shù)n，總有T_n<r(r∈N_＋)，所以r的最小值為2.