Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求函數的單調遞減區間；

（Ⅱ）若關于的方程有且僅有一個實根，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的單調遞減區間是．（2）實數的取值范圍是

【解析】

（Ⅰ）求函數f（x）的導數，利用導數小于0，求解單調遞減區間；
（Ⅱ）分離變量，通過函數的圖象的交點個數，判斷零點個數，利用單調性求解函數的極值，推出結果即可．

（Ⅰ）由題可得：　　　

令，得，解得：　　　　

∴函數的單調遞減區間是．

（Ⅱ）∵方程有且僅有一個實根

∴方程有且僅有一個非零實根，即方程有且僅有一個實根．

因此，函數的圖像與直線有且僅有一個交點．

結合（Ⅰ）可知，函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，.

∴函數的極大值是，極小值是．

又∵且時，．∴當或或時，

函數的圖像與直線有且僅有一個交點．

∴若方程有且僅有一個實根，

實數的取值范圍是.