Question

【題目】如果函數在定義域內存在區間，使得該函數在區間上的值域為，則稱函數是該定義域上的“和諧函數”.

（1）判斷函數是不是“和諧函數”，并說明理由；

（2）若函數是“和諧函數”，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是“和諧函數”，見解析（2）

【解析】

（1）根據題目所給的定義構造函數，再驗證特殊值即可判定函數是上的“和諧函數”.

（2）將題意轉化為在上至少有兩個不相等的實數根，再求解即可.

解：（1）函數的定義域為，

且在上單調遞增；

研究函數，；

因為，

取，則，即，

，取，

則，即，

因為在上單調遞增，

所以在區間上的值域為，即為.

所以函數是上的“和諧函數”.

（2）因為在單調遞增，

因為函數是“和諧函數”，

所以存在，使得函數在區間上的值域為.

即，．

因此，即在上至少有兩個不相等的實數根.

令，，方程可化為；

即在上至少有兩個不相等的非負實數根；

記，的對稱軸為直線；

所以；

解得，即t的取值范圍為 .