Question

【題目】已知函數，其中，.

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）當，且時，

（i）若有兩個極值點，，求證：；

（ii）若對任意的，都有成立，求正實數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）（i）證明見解析，（ii）4.

【解析】

（1）求導，令，得，，然后分，，，三種情況討論求解.

（2）（i）求導，由，是的兩實根，由韋達定理得，，構造函數，利用導數證明即可；（ii）當時，不等式恒成立；當時，將不等式轉化為求解.

（1），

.

令，得，.

①當，即時，，

在上遞增；

②當，即時，

在，上遞增，在遞減；

③當，即時，在，上遞增，在上遞減.

（2）（i）證明：，.

由已知，是方程，即的兩實根，

故，又，所以.

由韋達定理得：，，

因為，

所以，.

.

設，

則

所以遞增，

故，即.

（ii）當時，不等式恒成立；

當時，不等式化為.

設，

因為，

所以在上單調遞減.

因為，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

故.

又，所以，

此時.