Question

【題目】如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明過程詳見解析；（2）證明過程詳見解析；（3）.

【解析】

試題本題主要考查中位線、平行四邊形的證明、線面平行、線面垂直、面面垂直、二面角等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問，作出輔助線MN，N為中點，在中，利用中位線得到，且，結合已知條件，可證出四邊形ABMN為平行四邊形，所以，利用線面平行的判定，得∥平面；第二問，利用面面垂直的性質，判斷面，再利用已知的邊長，可證出，則利用線面垂直的判定得平面BDE，再利用面面垂直的判定得平面平面；第三問，可以利用傳統幾何法證明二面角的平面角，也可以利用向量法建立空間直角坐標系，求出平面BEC和平面ADEF的法向量，利用夾角公式計算即可.

（1）證明：取中點，連結．

在△中，

分別為的中點，所以∥，且

．由已知∥，，所以

∥，且．所以四邊形為平行四邊形，

所以∥．

又因為平面，且平面，

所以∥平面．

（2）證明：在正方形中，．又因為

平面平面，且平面平面，

所以平面．所以．

在直角梯形中，，，可得．

在△中，，所以．

所以平面．

又因為平面，所以平面平面．

（3）（方法一）延長和交于．

在平面內過作于,連結．由平面平面，

∥，，平面平面=，

得，于是．

又，平面，所以，

于是就是平面與平面所成銳二面角的

平面角.

由，得.

又，于是有.

在中，.

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．

（方法二）由（2）知平面，且．

以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系．

易得.平面的一個法向量為.設為平面的一個法向量，因為，所以，令，得．

所以為平面的一個法向量．

設平面與平面所成銳二面角為．

則．所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．