Question

已知集合是滿足下列性質的函數f（x）的全體：在定義域D內存在x，使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立．
（1）函數是否屬于集合M？說明理由；
（2）若函數f（x）=kx+b屬于集合M，試求實數k和b的取值范圍；
（3）設函數屬于集合M，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）做出所給的函數的定義域，假設這個函數屬于集合，則得到方程x²+x+1=0，因為此方程無實數解，得到不存在x使得等式成立，所以函數．
（2）做出函數的定義域R，根據f（x）=kx+b∈M，則存在實數x，使得k（x+1）+b=kx+b+k+b，解得b=0，得到實數k和b的取得范圍是k∈R，b=0
（3）根據所給的函數符合集合的條件，寫出符合條件的關系式，得到一個關于自變量的一元二次方程，根據有解得到判別式大于0，得到結果．
解答：解：（1）根據題意得到D=（-∞，0）∪（0，+∞），若，
則存在非零實數x，使得，…（2分）
即x²+x+1=0，…（3分）
因為此方程無實數解，所以函數．…（4分）
（2）D=R，由f（x）=kx+b∈M，存在實數x，使得k（x+1）+b=kx+b+k+b，…（6分）
解得b=0，…（7分）
所以，實數k和b的取得范圍是k∈R，b=0．…（8分）
（3）由題意，a＞0，D=R．由，存在實數x，
使得，…（10分）
所以，，
化簡得（a²-2a）x²+2a²x+2a²-2a=0，…（12分）
當a=2時，，符合題意．…（13分）
當a＞0且a≠2時，由△≥0得4a⁴-8（a²-2a）（a²-a）≥0，
化簡得a²-6a+4≤0，
解得．…（15分）
綜上，實數a的取值范圍是．…（16分）
點評：本題考查一元二次方程根與系數的關系，本題解題的關鍵是根據所給的滿足集合的條件寫出關于變量的關系式進行求解，本題是一個難題，難點在于理解題意．