【題目】如圖，在三棱錐
中，
兩兩垂直，
，平面
平面
，且
與棱
分別交于
三點．
（1）過
作直線
，使得
，
，請寫出作法并加以證明；
（2）若α將三梭錐P﹣ABC分成體積之比為8：19的兩部分（其中，四面體P1A1B1C的體積更小），D為線段B1tC的中點，求直線P1D與平面PA1B1所成角的正弦值．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】分析：（1）取BC的中點H，連結AH，則直線AH即為要求的直線l；
（2）根據體積比得出P1A1=A1B1=2，將四棱錐分解成兩個小三棱錐計算體積．
詳解：（1）作法：取
的中點
，連接
，則直線即為要求作的直線
.
證明如下：∵
，
，且
，∴
平面
.
∵平面
平面
，且
平面
，平面
平面
，
∴
，
∴
平面，∴
.
又
，為的中點，則
，從而直線即為要求作的直線.
（2）∵
將三棱錐
分成體積之比為
的兩部分，
∴四面體
的體積與三棱錐的體積之比為
，
又平面平面，∴
.
以
為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系
，設
，
則
，
，
，
，
，
，
，
，
設平面
的法向量為
，
則
，即
，
令
，得
.
則
.
故直線
與平面所成角的正弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】獨立性檢驗中，假設
:運動員受傷與不做熱身運動沒有關系.在上述假設成立的情況下，計算得
的觀測值
.下列結論正確的是
A. 在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為運動員受傷與不做熱身運動有關
B. 在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為運動員受傷與不做熱身運動無關
C. 在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為運動員受傷與不做熱身運動有關
D. 在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為運動員受傷與不做熱身運動無關
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某兒童樂園在“六一”兒童節推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉動如圖所示的轉盤兩次，每次轉動后，待轉盤停止轉動時，記錄指針所指區域中的數.設兩次記錄的數分別為x，y.獎勵規則如下：
①若
，則獎勵玩具一個；
②若
，則獎勵水杯一個；
③其余情況獎勵飲料一瓶.
假設轉盤質地均勻，四個區域劃分均勻.小亮準備參加此項活動.
（Ⅰ）求小亮獲得玩具的概率；
（Ⅱ）請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
（
且
）在區間
上的最大值與最小值之和為
，
，其中
.
（1）直接寫出
的解析式和單調性；
（2）若
對
恒成立，求實數
的取值范圍；
（3）設
，若
，使得對
，都有
，求實數的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題中，錯誤的是（ ）
A. 一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個平面相交
B. 平行于同一平面的兩條直線不一定平行
C. 如果平面
垂直，則過
內一點有無數條直線與
垂直．
D. 如果平面不垂直于平面，那么平面內一定不存在直線垂直于平面
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