Question

設拋物線C的方程為x2=4y，M為直線l：y=-m（m＞0）上任意一點，過點M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B．
（1）當M的坐標為（0，-1）時，求過M，A，B三點的圓的方程，并判斷直線l與此圓的位置關系；
（2）求證：直線AB恒過定點；
（3）當m變化時，試探究直線l上是否存在點M，使△MAB為直角三角形，若存在，有幾個這樣的點，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）證明：當M的坐標為（0，-1）時，設過M點的切線方程為y=kx-1，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，
令△=16k²-16=0，解得k=±1，
代入方程得x=±2，故得A（2，1），B（-2，1），…（2分）
因為M到AB的中點（0，1）的距離為2，
從而過M，A，B三點的圓的方程為x²+（y-1）²=4．
∵圓心坐標為（0，1），半徑為2，∴圓與直線l：y=-1相切…（4分）
（2）證法一：設切點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過拋物線上點A（x₁，y₁）的切線方程為(y-

y

1

)=k(x-x1)，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4（kx₁-y₁）=0△=（4k）²-4×4（kx₁-y₁）=0，又因為x12=4y1，所以k=

x1

2

…（6分）
從而過拋物線上點A（x₁，y₁）的切線方程為y-

y

1

=

x1

2

(x-x1)即y=

x1

2

x-

x 21

4

又切線過點M（x₀，y₀），所以得y0=

x1

2

x0-

x 21

4

①即y0=

x1

2

x0-y1…（8分）
同理可得過點B（x₂，y₂）的切線為y=

x2

2

x-

x 22

4

，
又切線過點M（x₀，y₀），所以得y0=

x2

2

x0-

x 22

4

②…（10分）
即y0=

x2

2

x0-y2…（6分）
即點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均滿足y0=

x

2

x0-y即x₀x=2（y₀+y），故直線AB的方程為x₀x=2（y₀+y）…（12分）
又M（x₀，y₀）為直線l：y=-m（m＞0）上任意一點，故x₀x=2（y-m）對任意x₀成立，所以x=0，y=m，從而直線AB恒過定點（0，m）…（14分）
證法二：設過M（x₀，y₀）的拋物線的切線方程為y-

y

0

=k(x-x0)（k≠0），
代入x²=4y，消去y，得x²-4kx-4（y₀-kx₀）=0
∴△=（4k）²+4×4（y₀-kx₀）=0即：k²-x₀k+y₀=0…（6分）
從而k1=

x0+ x 20 -4y0

2

，k2=

x0- x 20 -4y0

2

此時x1=

2

k1

，x2=

2

k2

所以切點A，B的坐標分別為A(

2

k1

，

1

k12

)，B(

2

k2

，

1

k22

)…（8分）
因為kAB=

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

4

=

x0

2

，

x1+x2

2

=

2 k1 + 2 k2

2

=

k1+k2

k1k2

=x0，

y1+y2

2

=

1 k12 + 1 k22

2

=

(k1+k2)2-2k1k2

2(k1k2)2

=

x 20 -2y0

2

，
所以AB的中點坐標為(x0，

x 20 -2y0

2

)…（11分）
故直線AB的方程為y-

x 20 -2y0

2

=

x0

2

(x-x0)，即x₀x=2（y₀+y）…（12分）
又M（x₀，y₀）為直線l：y=-m（m＞0）上任意一點，故x₀x=2（y-m）對任意x₀成立，所以x=0，y=m，從而直線AB恒過定點（0，m）…（14分）
證法三：由已知得y=

x2

4

，求導得y=

x

2

，切點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），故過點A（x₁，y₁）的切線斜率為k=

x1

2

，從而切線方程為(y-

y

1

)=

x1

2

(x-x1)即y=

x1

2

x-

x 21

4

…（7分）
又切線過點M（x₀，y₀），所以得y0=

x1

2

x0-

x 21

4

①即y0=

x1

2

x0-y1…（8分）
同理可得過點B（x₂，y₂）的切線為y=

x2

2

x-

x 22

4

，
又切線過點M（x₀，y₀），所以得y0=

x2

2

x0-

x 22

4

②即y0=

x2

2

x0-y2…（10分）
即點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均滿足y0=

x

2

x0-y即x₀x=2（y₀+y），故直線AB的方程為x₀x=2（y₀+y）…（12分）
又M（x₀，y₀）為直線l：y=-m（m＞0）上任意一點，故x₀x=2（y-m）對任意x₀成立，所以x=0，y=m，從而直線AB恒過定點（0，m）…（14分）
（3）由（2）中①②兩式知x₁，x₂是方程y0=

x

2

x0-

x 2

4

的兩實根，故有

x1+x2=2x0 x1x2=4y0

∵y1=

x 21

4

，y2=

x 22

4

，y₀=m
∴

MA

•

MB

=4m²+m

x

20

-4m-

x

20

=（m-1）（

x

20

+4m），…（9分）
①當m=1時，

MA

•

MB

=0，直線l上任意一點M均有MA⊥MB，△MAB為直角三角形；…（10分）
②當0＜m＜1時，

MA

•

MB

＜0，∠AMB＞

π

2

，△MAB不可能為直角三角形；…（11分）
③當m＞1時，

MA

•

MB

＞0，∠AMB＜

π

2

，．
因為k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

4

=

x0

2

，kMA=

x1

2

=

x0± x 20 -4y0

2

，
所以k_ABk_MA=

x0(x0± x 20 -4y0 )

4

若k_ABk_MA=-1，則

x0(x0± x 20 -4y0 )

4

=-1，整理得（y₀+2）

x

20

=-4，
又因為y₀=-m，所以（m-2）

x

20

=4，
因為方程（m-2）

x

20

=4有解的充要條件是m＞2，所以當m＞2時，有MA⊥AB或MB⊥AB，△MAB為直角三角形…（13分）
綜上所述，當m=1時，直線l上任意一點M，使△MAB為直角三角形，當m＞2時，直線l上存在兩點M，使△MAB為直角三角形；當0＜m＜1或1＜m≤2時，△MAB不是直角三角形．…（14分）