Question

已知定點A（1，0），定直線l：x=5，動點M（x，y）
（1）若M到點A的距離與M到直線l的距離之比為，試求M的軌跡曲線C₁的方程；
（2）若曲線C₂是以C₁的焦點為頂點，且以C₁的頂點為焦點，試求曲線C₂的方程；
（3）是否存在過點F（，0）的直線m，使其與曲線C₂交得弦|PQ|長度為8呢？
若存在，則求出直線m的方程；若不存在，試說明理由．

Answer 1

（1）∵定點A（1，0），定直線l：x=5，
動點M（x，y），M到點A的距離與M到直線l的距離之比為，
∴根據橢圓定義：M的軌跡為橢圓，其中c=1，e==，
∴a=∴b==2∴則C₁軌跡方程為：．
（2）∵C₁軌跡方程為：，
∴C₁的焦點為：（1，0），（﹣1，0），
C₁的頂點為：（，0），（﹣，0）
由題意可知：C₂為雙曲線則a′=1，c'=，則b′==2，
∴C₂軌跡方程為：x²﹣=1．
（3）當直線m的斜率不存在時，m的方程為：x=，
它與C₂：x²﹣=1交于P（，﹣4）和Q（），得到得弦|PQ|=8．
當直線m的斜率存在時，m的方程為y=k（x﹣），聯立方程組，
消去y，整理得，
設P（x₁，y1），Q（x₂，y₂），則，，∴弦|PQ|長度為8，
∴=8，解得k=，
∴直線m的方程為x=或y=（x﹣）．