Question

【題目】設數列，對任意都有，（其中k、b、p是常數）．

（1）當，，時，求；

（2）當，，時，若，，求數列的通項公式；

（3）若數列中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列”．當，，時，設是數列的前n項和，，試問：是否存在這樣的“封閉數列”，使得對任意，都有，且．若存在，求數列的首項的所有取值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）當，，時，，再寫一式，兩式相減，可得數列是以首項為1，公比為3的等比數列，從而可求；

（2）當，，時，，再寫一式，兩式相減，可得數列是等差數列，從而可求數列的通項公式；

（3）確定數列的通項，利用是“封閉數列”，得是偶數，從而可得，再利用，驗證，可求數列的首項的所有取值．

（1）當，，時，，①

用去代n得，，②

②①得，，，

在①中令得，，則，∴，

∴數列是以首項為1，公比為3的等比數列，

∴．

（2）當，，時，，③

用去代n得，，④

④③得，，⑤

用去代n得，，⑥

⑥⑤得，，即，

∴數列是等差數列．

∵，，∴公差，∴．

（3）由（2）知數列是等差數列，∵，∴．

又是“封閉數列”，得：對任意m，，必存在使，

得，故是偶數，

又由已知，，故．

一方面，當時，，對任意，都有．

另一方面，當時，，，則，

取，則，不合題意．

當時，，，則，

當時，，，，

又，

∴或或或．