Question

【題目】如圖，直角梯形中， ， ， ， ， 底面， 底面且有.

（1）求證： ；

（2）若線段的中點為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）根據線段長度的關系得到， ， 、是平面內的相交直線， 平面，進而得到線線垂直；（2）常用的方法是建系，建立空間坐標系，求得直線的方向向量和面的法向量，根據向量的夾角公式得到線面角.

解析：

（1），

，且是等腰直角三角形，

平面中， ，

，可得

，即

底面， 底面，

、是平面內的相交直線， 平面

平面，

（2）解法一：幾何法

如圖，過點作，垂足為，連接， ，

， ， ， 平面，

平面，

結合且，可得平面

是在平面內的射影，

可得就是直線與平面所成的角.

中， ，

中，

， ， ，可得

因此，在中，

即直線與平面所成角的正弦值是.

解法二：向量法

如圖，以點為坐標原點，直線為軸， 為軸建立空間直角坐標系，

則， ， ， ， ，

所以：

設平面的一個法向量為，由

可取

設直線與平面所成角為，則

.