Question

【題目】已知奇函數的定義域為，其中為指數函數且過點．

（1）求函數的解析式；

（2）判斷函數的單調性，并用函數單調性定義證明．

（3）若對于任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；（2）在上單調遞減，見解析；（3）

【解析】

（1）為指數函數且過點，可以利用待定系數法求出的表達式，代入到中，還有一個參數，題中還有一個條件：定義域為上的奇函數，又得出一個相應的等量關系.

（2）用定義法去證明函數的單調性問題，可以“程序化”

1.取值； 2.作差（也有作商）；3比較大小（作差和0比較，作商和1做對比）；4下結論.

（3）由（2）已經判斷函數是單調的奇函數，可以轉化為：這樣就能轉化為相應不等式，進而完成本題.

（1）設，由的圖象過點，

可得，∴，．故函數．

再根據為奇函數，可得，

∴，即.

（2）∵．

設，則，由于，

結合，可得，

∴，即，故在上單調遞減．

（3）且為奇函數，所以

又在上單調遞減，所以對恒成立，

所以對對恒成立，令

所以，所以