Question

【題目】集合由滿足以下性質的函數組成：①在上是增函數；②對于任意的， .已知函數， .

（1）試判斷， 是否屬于集合，并說明理由；

（2）將（1）中你認為屬于集合的函數記為.

（ⅰ）試用列舉法表示集合；

（ⅱ）若函數在區間上的值域為，求實數 的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）(i) ;(ii) 實數的取值范圍是.

【解析】試題分析: （1）通過特例，判斷不在集合中，判斷的單調性,求出的值域，即可判斷是否在集合中；

（2）（ⅰ）利用 （1）在集合中，解指數方程，即可得到集合．

試題解析:（1）因為，不滿足②，所以不屬于集合．

(ii)由（1）知， 在上單調增，所以

所以方程在內有兩個不等的實根，解之即可得到實數的取值范圍.

在內任取兩個數， ，設，

則，

因為是單調增函數，且，所以， ，

所以，即，

故在上是增函數，滿足①；

所以在上的值域為，滿足②．

故函數屬于集合．

（2）(i)由（1）知， ，所以，

即，解得或，

所以或，故．

(ii)由（1）知， 在上單調增，所以

所以方程在內有兩個不等的實根，

所以解得．

故實數的取值范圍是．