Question

設兩個數列{a_n},{b_n}滿足b_n=，若{b_n}為等差數列，求證：{a_n}也為等差數列.

Answer 1

證明見解析

證明 由題意有
a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=b_n，                            ①
從而有a₁+2a₂+3a₃+…+(n-1)a_n-1
=b_n-1(n≥2),                                  ②
由①-②，得na_n=b_n-b_n-1,
整理得a_n=,
其中d為{b_n}的公差(n≥2).
從而a_n+1-a_n=-
==(n≥2).
又a₁=b₁，a₂=
∴a₂-a₁=-b₁==.
綜上，a_n+1-a_n=d（n∈N^*）.
所以{a_n}是等差數列.