Question

已知點F是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，△ABE是直角三角形，則該雙曲線的離心率是（　　）

• A、3
• B、2
• C、12
• D、13

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用雙曲線的對稱性及直角三角形，可得∠AEF=45°，從而|AF|=|EF|，求出|AF|，|EF|得到關于a，b，c的等式，即可求出離心率的值．

解答： 解：∵△ABE是直角三角形，∴∠AEB為直角，
∵雙曲線關于x軸對稱，且直線AB垂直x軸，
∴∠AEF=∠BEF=45°，
∴|AF|=|EF|，
∵F為左焦點，設其坐標為（-c，0），
令x=-c，則

c2

a2

-

y2

b2

=1，
則有y=±

b2

a

，
∴|AF|=

b2

a

，∴|EF|=a+c，
∴

b2

a

=a+c
∴c²-ac-2a²=0
∴e²-e-2=0
∵e＞1，∴e=2
故選B．

點評：本題考查雙曲線的對稱性、考查雙曲線的三參數關系：c²=a²+b²、考查雙曲線的離心率，屬于中檔題．