Question

已知△ABC中，a，b，c為角A，B，C所對的邊，且b（3b-c）cosA=

CA

•

CB

．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面積為2

2

，并且邊AB上的中線CM的長為

17

2

，求b，c的長．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運算,余弦定理

專題：計算題,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運用向量的數(shù)量積的定義，以及正弦定理和誘導(dǎo)公式，化簡即可得到cosA；
（2）由三角形的面積公式，以及余弦定理，解關(guān)于b，c的方程，即可得到．

解答： 解：（1）b（3b-c）cosA=

CA

•

CB

即為
b（3b-c）cosA=bacosC，
即有3bcosA=ccosA+acosC，
由正弦定理可得，
3sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sinB，
即有cosA=

1

3

；
（2）由cosA=

1

3

，可得sinA=

1- 1 9

=

2 2

3

，
則三角形的面積S=

1

2

bcsinA=2

2

，
即bc=6，
在△ACM中，CM²=b²+

c2

4

-2b•

c

2

cosA，
即為

17

4

=b²+

c2

4

-2，即b²+

c2

4

=

25

4

，
解得b=2，c=3．或b=

3

2

，c=4．

點評：本題考查向量的數(shù)量積的定義，考查正弦定理和余弦定理及面積公式的運用，考查化簡運算的能力，屬于基礎(chǔ)題．