Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系上放置一個邊長為1的正方形，此正方形沿軸滾動（向左或者向右均可），滾動開始時，點在原點處，例如：向右滾動時，點的軌跡起初時以點為圓心，1為半徑的圓弧，然后以點與軸交點為圓心，長度為半徑……，設點的縱坐標與橫坐標的函數關系式是，該函數相鄰兩個零點之間的距離為.

（1）寫出的值，并求出當時，點軌跡與軸所圍成的圖形的面積，研究該函數的性質并填寫下面的表格：

函數性質	結論
奇偶性
單調性	遞增區間
	遞減區間
零點

（2）已知方程在區間上有11個根，求實數的取值范圍

（3）寫出函數的表達式.

Answer 1

【答案】（1），性質如表：

函數性質	結論
奇偶性	偶函數
單調性	遞增區間
	遞減區間
零點

（2）

（3）

【解析】

（1）做出點的軌跡示意圖如下圖1所示，可得該函數相鄰兩個零點之間的距離，點軌跡與軸所圍成的圖形的面積，函數的奇偶性，單調區間和零點；

（2）令，則函數都是偶函數，且兩個函數一定交于原點，要使方程在區間上有11個根，只需兩函數在上有5個交點，分別得出和時，函數的解析式，再代入方程中，對進行參變分離轉化為求函數的最值問題，從而可得范圍；

（3）通過點的軌跡示意圖1可知，當時，點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓弧，當時，點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓弧，當時，點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓弧，當時，點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓弧，可得函數的解析式.

（1）點的軌跡如下圖1所示，所以該函數相鄰兩個零點之間的距離為，

在當時，點軌跡與軸所圍成的圖形的面積，

所以，

由圖示可以得函數是偶函數，

在上單調遞增，在上單調遞減，

函數的零點是.得下表：

函數性質	結論
奇偶性	偶函數
單調性	遞增區間
	遞減區間
零點

（2）令，則函數都是偶函數，且兩個函數一定交于原點，

要使方程在區間上有11個根，只需兩函數在上有5個交點，做出圖像如下圖2，

當時，，依題意需方程在有兩個根，

對進行參變分離得，令，則，對稱軸，

當時，，

當時，，

當時，，

要使方程在有兩個根，

則需與在有兩個交點，且，

所以，解得；

當時，，依題意需方程在有兩個根，

對進行參變分離得，

令，則，對稱軸，

當時，，

當時，，

當時，，

要使方程在有兩個根，

則需與在有兩個交點，且，

所以，解得，

又，所以實數的取值范圍是；

（3）通過圖1可知，

當時，點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓弧，所以，

當時，點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓弧，所以，

當時，點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓弧，所以，

當時，點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓弧，所以，，

所以函數.