Question

已知橢圓：的短軸長為，且斜率為的直線過橢圓的焦點及點．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線過橢圓的左焦點，交橢圓于點P、Q.
（ⅰ）若滿足（為坐標原點），求的面積；
（ⅱ）若直線與兩坐標軸都不垂直，點在軸上，且使為的一條角平分線，則稱點為橢圓的“特征點”，求橢圓的特征點．

Answer 1

（1）；（2）（ⅰ）2，（ⅱ）

試題分析：（1）由短軸長得，由焦點和點可算出斜率為，可以得到焦點坐標，所以可以得橢圓的方程。（2）（ⅰ）由向量的數量積公式及三角形面積公式可得出結果。（ⅱ）設直線的方程，但是不需要求的方程，通過與橢圓聯立方程組進行求解。
試題解析：（1）由題意可知，直線的方程為，         1分
∵直線過橢圓的焦點，∴該焦點坐標為∴    2分
又橢圓的短軸長為，∴，∴   3分
∴橢圓的方程為   4分
（2）（ⅰ）∵
∴   6分
∴    8分
（ⅱ）設特征點，左焦點為，可設直線PQ的方程為，
由消去得
設，則
     10分
∵為的一條角平分線，
∴，即          12分
又，，代入上式可得

∴，解得
∴橢圓C的特征點為．                     14分