Question

已知

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，

OD

=

d

，

OE

=

e

，且向量

a

與向量

b

為不共線的兩個向量，設

c

=3

a

，

d

=2

b

，

e

=t（

a

+

b

），t為實數．
（1）用向量

a

，

b

或實數t來表示向量

CD

，

CE

；
（2）實數t為何值時，C，D，E三點在一條直線上？

Answer 1

分析：（1）由

CD

=

d

-

c

，

CE

=

e

-

c

得到用向量

a

，

b

或實數t來表示向量

CD

，

CE

；
（2）欲使三點共線，可先由兩向量共線得到關于t的等式，解出即可．

解答：解：（1）由題設知，

CD

=

d

-

c

=2

b

-3

a

，

CE

=

e

-

c

=t

b

+(t-3)

a

       
（2）C，D，E三點在一條直線上的等價于存在實數k，使得

CE

=k

CD

，即t

b

+(t-3)

a

=k(2

b

-3

a

)，
整理得(t-3+3k)

a

=(2k-t)

b

．
由

a

，

b

不共線，有

t-3+3k=0 t-2k=0

，解之得，t=

6

5

．
綜上當C，D，E三點在一條直線上時有t=

6

5

．

點評：（1）由三點共線的條件設出參數，并利用待定系數法確定參數，利用算兩次的數學思想，根據平面向量基本定理，使問題得以解決．
（2）利用向量共線定理時容易證明幾何中的三點共線和兩直線平行的問題，必須注意兩個有公共點的向量，其三點共線．