Question

【題目】已知函數（是自然對數的底數）.

（Ⅰ）討論極值點的個數；

（Ⅱ）若是的一個極值點，且，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析

【解析】

（I）求得函數的導函數，對分成四種情況進行分類討論，根據的單調區間，判斷出極值點的個數.

（II）首先結合（I）以及判斷出，且，由此求得的表達式，利用這個表達的導數求得最大值為，由此證得.

（Ⅰ）的定義域為，，

①若，則，

所以當時，；當時，，

所以在上遞減，在遞增.

所以為唯一的極小值點，無極大值，

故此時有一個極值點.

②若，令，

則，，

當時，，

則當時，；當時，；

當時，.

所以－2，分別為的極大值點和極小值點，

故此時有2個極值點.

當時，，

且不恒為0，

此時在上單調遞增，

無極值點

當時，，

則當時，；當時，

；當時，.

所以，－2分別為的極大值點和極小值點，

故此時有2個極值點.

綜上，當時，無極值點；

當時，有1個極值點；

當或時，有2個極值點.

（Ⅱ）證明：若是的一個極值點，

由（Ⅰ）可知，

又，所以，

且，則，

所以.

令，則，

所以，

故

又因為，所以，令，得.

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

所以是唯一的極大值點，也是最大值點，

即，

故，即.