Question

【題目】數列,定義為數列的一階差分數列,其中.

(1)若,試斷是否是等差數列,并說明理由；

(2)若證明是等差數列,并求數列的通項公式；

(3)對(2)中的數列,是否存在等差數列,使得對一切都成立,若存在,求出數列的通項公式；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）是等差數列，理由見解析；（2）證明見解析，；（3）存在，且.

【解析】

（1）通過計算證得是等差數列.

（2）根據，得到，利用湊配法證得是等差數列,并求得數列的通項公式.

（3）先求得，由此求得，再利用組合數公式，證得符合要求.

（1）由于，所以，所以，且.所以是首項為，公差為的等差數列.

（2）由于，，所以，即，兩邊除以得，所以是首項為，公差為的等差數列，故，即.

（3）存在，且符合題意.

依題意.當時，；當時，，即，而是等差數列，故只能.下證符合題意.

由于，所以根據組合數公式有符合題意.