Question

已知f（x）是偶函數，且在（-∞，0）上遞減，若x∈[

1

2

，1]時，f（ax+1）≤f（x+2）恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）

A．[-4，2]

B．（-∞，2]

C．[-4，+∞）

D．[-4，-2]

Answer 1

因為f（x）是偶函數，故有f（x）=f（-x）=f（|x|）
所以f（ax+1）≤f（x+2）在 x∈[

1

2

，1]上恒成立?f（|ax+1|）≤f（|x+2|）在 x∈[

1

2

，1]上恒成立①；
又因為在[0，+∞）上是增函數，
故①式轉化為|ax+1|≤|x+2|在 x∈[

1

2

，1]上恒成立⇒（a²-1）x²+2（a-2）x-3≤0②；
在 x∈[

1

2

，1]上恒成立．
a=1時，②轉化為-2x-3≤0⇒x≥-

3

2

成立；
a=-1時，②轉化為2x+1≥0⇒x≥-

1

2

成立；
|a|＞1時，得a²-1＞0，②轉化為

(a2-1)×( 1 2 )2+2(a-2)× 1 2 -3≤0 (a2-1)×1+2(a-2)×1-3≤0

，
⇒-4≤a≤2（a≠±1）．
綜上得：實數a的取值范圍為[-4，2]．
故選A．