Question

如圖所示，n臺機器人M₁，M₂，……，M_n位于一條直線上，檢測臺M在線段M₁ M_n上，n臺機器人需把各自生產的零件送交M處進行檢測，送檢程序設定：當M_i把零件送達M處時，M_i+1即刻自動出發送檢（i=1,2,……,n-1）已知M_i的送檢速度為V(V>0), 且記，n臺機器人送檢時間總和為f(x).
 
(1)求f(x)的表達式；
(2)當n=3時，求x的值使得f(x)取得最小值；
(3)求f(x)取得最小值時，x的取值范圍．

Answer 1

（1）f(x)= ；（2）x=1；（3）n為偶數時x∈[,]；n為奇數時．

試題分析：（1）先求出n臺機器人送檢的路程總和，再除以送檢速度v即為n臺機器人送檢時間總和f(x)；而且，則，從而可得f(x)的表達式；（2）當n=3時，f(x)是一個含有絕對值符號的函數，只須采用零點分段討論法，去掉絕對值符號，轉化為一個分段函數，結合函數圖就可求得使f(x)取得最小值對應的x的值；（3）由(1)知f(x)是一個含有多個絕對值符號的函數,再由(2)的經驗,須去掉絕對值符號,所以我們只須設i≤x≤i+1,(0≤i<n-2, i∈Ζ),就可去掉所有的絕對值符號,從而轉化為一個一次函數,其單調性由x系數的正負來確定，討論x系數的正負，并結合n的奇偶性就可求出f(x)取得最小值時，x的取值范圍．
試題解析：（1）以M₁為坐標原點，M₁，M₂ ，M_n所在直線為x軸建立數軸，則M_i的坐標為i-1，M的坐標為x．
f(x)=     3分
（2）n=3時,V f(x)=
 f(x)在x=1處取得最小值
（3）當i≤x≤i+1,(0≤i<n-2, i∈Ζ)時，

=x+(x-1)+  +(x-i)-(x-(i+1))-  -(x-(n-1))
="[(" i+1)x-(1+2+  + i)]-[n-( i+1)·x-( i+1+ i+2+  +(n-1) ]
="-[n-2" (i+1) ]·x-
當0≤i<時，f(x)單調遞減：當時，f(x)單調遞增
當, f(x)為常函數，又f(x)圖象是一條連續不斷的圖象，所以
①n為偶數時，f(x)在（0，）內單調遞減，在()為常函數，在（，n-1）單調遞增，所以當x∈[,]時f(x)取得最小值．
②n為奇數時，在內單調遞減，（表示的整數部分），在   內單調遞增，所以當時取得最小值    （13分）