Question

如圖，在正方體中，，為的中點，為的中點.
（1）求證：平面平面；
（2）求證：平面；
（3）設為正方體棱上一點，給出滿足條件的點的個數，并說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）在正方體棱上使得的點有12個.

試題分析：（1）求證：平面平面，證明兩平面垂直，只需證明一個平面過另一個平面的垂線，注意到本題是一個正方體，因此可證平面即可；（2）求證：平面，證明線面平行，即證線線平行，即在平面內找一條直線與平行，注意到為的中點，為的中點，可連接，，設，連接，證明即可，即證四邊形是平行四邊形即可；（3）設為正方體棱上一點，給出滿足條件的點的個數，由（2）可知，，且，故點符合，有正方體的特征，可知，，故是點到的最短距離，故這樣的點就一個，同理在其他棱上各有一個，故可求出滿足條件的點的個數．
（1）在正方體中，
因為 平面，平面，
所以平面平面.                                   4分
（2）證明：連接，，設，連接.
因為為正方體，
所以 ，且，且是的中點，
又因為是的中點，
所以 ，且，
所以 ，且，
即四邊形是平行四邊形，
所以，                                                 6分
又因為 平面，平面，
所以 平面.                                         9分

（3）滿足條件的點P有12個.                            12分
理由如下：
因為 為正方體，，
所以 .
所以 .                                      13分
在正方體中，
因為 平面，平面，
所以 ，又因為 ，所以 ， 
則點到棱的距離為，
所以在棱上有且只有一個點（即中點）到點的距離等于，
同理，正方體每條棱的中點到點的距離都等于，
所以在正方體棱上使得的點有12個.     14分