Question

【題目】已知函數，.

（1）若函數存在兩個極值，求的取值范圍；并證明：函數存在唯一零點.

（2）若存在實數，，使，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；證明見解析；(2)

【解析】

(1)求出的導數，結合二次函數的性質得到關于的不等式組，解出即得的范圍；令

，求出，得到至多有一個零點，再驗證，即可證明；

(2)求出，以及，設，記，根據導數與單調性，最值的應用，即可求解.

由題意，

所以方程有兩個不相等的正實數根，不妨設，則

，解得：，

所以的取值范圍為；

由題易知在處取得極大值，當處取得極小值，且有

，故，

令，故，

令，解得，

由導數與函數的最值可知：

故，所以至多有一個零點，

又因，

所以函數存在唯一零點；

由題意知：，

即，

故，

設，記

則，

所以在定義域上單調遞減，所以，

即，

故的取值范圍.為.