Question

已知a、b為實(shí)數(shù)，且b＞a＞e,其中e為自然對數(shù)的底，
求證: a^b＞b^a.

Answer 1

證明略

證法一: ∵b＞a＞e,∴要證a^b＞b^a,只要證blna＞alnb,
設(shè)f(b)=blna－alnb(b＞e),則f′(b)=lna－.
∵b＞a＞e,∴l(xiāng)na＞1,且＜1,∴f′(b)＞0.
∴函數(shù)f(b)=blna－alnb在(e,+∞)上是增函數(shù)，
∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,
∴blna＞alnb,∴a^b＞b^a.
證法二： 要證a^b＞b^a,只要證blna＞alnb(e＜a＜b,即證,
設(shè)f(x)=(x＞e)，則f′(x)=＜0,
∴函數(shù)f(x)在(e,+∞)上是減函數(shù)，又∵e＜a＜b,
∴f(a)＞f(b),即,∴a^b＞b^a.