Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°．
（Ⅰ）證明AD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求異面直線PC與AD所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角P-BD-A的大小．

Answer 1

分析：（I）由題意在△PAD中，利用所給的線段長度計算出AD⊥PA，在利用矩形ABCD及線面垂直的判定定理及、此問得證；
（II）利用條件借助圖形，利用異面直線所稱角的定義找到共面得兩相交線，并在三角形中解出即可；
（III）由題中的條件及三垂線定理找到二面角的平面角，然后再在三角形中解出角的大小即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：在△PAD中，由題設PA=2，PD=2

2

，
可得PA²+AD²=PD²于是AD⊥PA．
在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，
所以AD⊥平面PAB．

（Ⅱ）解：由題設，BC∥AD，
所以∠PCB（或其補角）是異面直線PC與AD所成的角．
在△PAB中，由余弦定理得
PB=

PA2+AB2-2PA•AB•cosPAB

=

7

由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故tanPCB=

PB

BC

=

7

2

．
所以異面直線PC與AD所成的角的大小為arctan

7

2

．

（Ⅲ）解：過點P做PH⊥AB于H，過點H做HE⊥BD于E，連接PE
因為AD⊥平面PAB，PH?平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，
因而PH⊥平面ABCD，故HE為PE再平面ABCD內的射影．
由三垂線定理可知，BD⊥PE，從而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角．
由題設可得，
PH=PA•sin60°=

3

，AH=PA•cos60°=1，
BH=AB-AH=2，BD=

AB2+AD2

=

13

，
HE=

AD

BD

•BH=

4

13

于是再RT△PHE中，tanPEH=

39

4

所以二面角P-BD-A的大小為arctan

39

4

．

點評：本小題主要考查直線和平面垂直，異面直線所成的角、二面角等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力，還考查了利用反三角函數的知識求出角的大小．