Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，a=2

3

，b=2，cosA=-

1

2

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若f（x）=cos2x+csin²（x+B），求函數f（x）的最小正周期和單增區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據cosA的值小于0，得到A為鈍角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinA的值，然后由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，根據B為銳角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（Ⅱ）由a，b及cosB的值，利用余弦定理即可求出c的值，把求出的c和求出的B的值代入到f（x）中，利用二倍角的余弦函數公式及兩角和與差的正弦、余弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據周期的公式即可求出函數的最小正周期，由正弦函數的單調遞增區間即可求出f（x）的單調增區間．

解答：解：（Ⅰ）由cosA=-

1

2

＜0，A∈（

π

2

，π），得到sinA=

3

2

，又a=2

3

，b=2，（2分）
由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

，則sinB=

1

2

，因為A為鈍角，所以B=

π

6

；（5分）
（Ⅱ）由a=2

3

，b=2，cosB=

3

2

，
根據余弦定理得：2²=c²+12-4

3

c•

3

2

，即（c-2）（c-4）=0，
解得c=2或c=4，由A為三角形的最大角，得到a=2

3

為最大邊，所以c=4舍去，
故c=2，（6分）
把c=2代入得：f(x)=cos2x+2sin2(x+

π

6

)
=cos2x-cos(2x+

π

3

)+1
=cos2x-

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+1
=sin(2x+

π

6

)+1，（10分）
則所求函數的最小正周期為π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
則所求函數的單增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．（13分）

點評：此題考查學生靈活運用正弦．余弦定理化簡求值，靈活運用二倍角的余弦函數公式及兩角和與差的正弦函數公式化簡求值，掌握正弦函數的單調性，是一道中檔題．學生求B度數的時候注意A為鈍角這個隱含條件．