Question

【題目】已知{an}是各項均為正數的數列，{bn}是等差數列，且a1=b1=1，a5﹣3b2=7.2a +（2﹣an+1）an﹣an+1=0（n∈N*）
（1）求{an}和{bn}的通項公式；
（2）設cn=anbn ， n∈N* ， 求數列{cn}的前n項和．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得：an+1（an+1）=2an（an+1）．

∵因為{an}的各項都為正數，∴ ．

故{an}是首項為1，公比為2的等比數列，

因此數列{an}的通項公式為 ．

設數列{bn}的公差為d，由a5﹣3b2=7，b1=1得d=2，

∴數列{bn}的通項公式為bn=2n﹣1，n∈N*

（2）解：由（1）知cn=（2n﹣1）2n﹣1，設{cn}的前n項和為Sn，

則Sn=1×20+3×21+5×22+…+（2n﹣3）×2n﹣2+（2n﹣1）×2n﹣1，

2Sn=1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）×2n，

上述兩式相減，得

﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣（2n﹣1）×2n

=2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n

=﹣（2n﹣3）×2n﹣3，

所以Sn=（2n﹣3）2n+3，n∈N*

【解析】（1）利用 得：an+1（an+1）=2an（an+1）．根據{an}的各項都為正數，可得 ．再利用等比數列的通項公式可得an ． 再利用等差數列的通項公式可得bn ． （2）利用“錯位相減法”、等比數列的求和公式即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．